En otras palabras, el efecto Doppler consiste en el cambio que experimenta la frecuencia con que percibimos un movimiento ondulatorio respecto de la frecuencia con la que ha sido originado, a causa del movimiento relativo entre la fuente y el receptor.

Los diferentes casos de efecto Doppler son los siguientes.

· Receptor fijo y fuente sonora en movimiento

Supongamos dos receptores, R₁ y R₂, en reposo; una fuente emisora puntual, F, que emite con frecuencia f y se mueve respecto al medio de propagación.
Además, F se mueve hacia R₁ con velocidad constante, v_f, menor que la velocidad, v, del sonido en dicho medio y que el origen del sistema de referencia es la posición inicial de F.

A medida que se producen los frentes de onda correspondientes a un mismo estado de vibración, éstos se juntan hacia R₁ mientras se separan hacia R_2.
El número de frentes de onda, N, producidos por la fuente sonora de frecuencia f en un tiempo, t, es N = ft.
La distacia recorrida por la onda en dicho tiempo es s = vt, y la distancia recorrida por la fuente es  s_f = v_f t.
La distancia ocupada por los frentes de onda entre F y el receptor R₁ es (v - v_f) t, y la distancia ocupada por los frentes de onda entre F y R₂ es (v + v_f) t.
A los receptores R₁ y R₂ les llega el mismo número de frentes de onda N, pero su longitud de onda, λ₁ y λ₂, no es igual:

λ₁ = (v - v_f) t / N = (v - v_f) t / f t = (v - v_f) / f
 λ₂ = (v + v_f) t / N =  (v + v_f) t / f t =  (v + v_f) / f

Las frecuencias percibidas por cada receptor, f₁ y f₂, son:

 f₁  = v / λ₁ = f (v / v - v_f )
f₂ = V / λ₂  = f (v / v + v_f )

La frecuencia percibida por los receptores en reposo, f_R, cuando la fuente se mueve con velocidad constante, v_f, es:

f_R =  f [v / v (+_/ - ) v_f ]

(-): la fuente se acerca al receptor
(+): la fuente se aleja del receptor

La frecuencia percibida por el receptor es mayor cuando se acerca la fuente a éste, y menor cuando de aleja de él.

Cuando la velocidad de la fuente, v_f, sea igual que la velocidad de propagación de las ondas en el medio, v_s (v_f = 1), la longitud de onda medida por el receptor situado a la derecha de la fuente es cero. Si la fuente es un avión que va a la velocidad del sonido, los sucesivos frentes de las ondas emitidas se agrupan en la punta o morro del avión.

 

 

Cuando la fuente está en movimiento (v_f > v_s)

Cuando la velocidad del la fuente, v_f, sea mayor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio, v_s (v_E>1), el movimiento ondulatorio resultante es entonces una onda cónica (la envolvente de los sucesivos frentes de onda es un cono con el vértice en la fuente), esta onda se llama onda de Mach u onda de choque, y no es más que el sonido repentino y violento que oímos cuando un avión supersónico pasa cerca de nosotros. Estas ondas se observan también en la estela que dejan los botes que se mueven con mayor velocidad que las ondas superficiales sobre el agua.

La envolvente, es la recta tangente común a todas las circunferencias. En el espacio, los frentes de onda son esferas y la envolvente es una superficie cónica.

En el instante t = 0, la fuente o el emisor que se encuentra en B, emite una onda que se propaga por el espacio con velocidad v_s. En el instante t el emisor se encuentra en O, y se ha desplazado v_E·t, En este instante, el frente de onda centrado en B tiene un radio v_s·t.

En el triángulo rectángulo OAB el ángulo del vértice es sen θ=v_s/v_E. El cociente v_E/v_s.se denomina número de Mach.

· Receptor en movimiento y fuente sonora fija

Supongamos ahora que la fuente emisora está en reposo y que el receptor se mueve con velocidad constante, v_R.
En este caso, la longitud de onda no varía, pero la frecuencia percibida por el receptor es mayor si éste se acerca a la fuente, F, que si se aleja de ella, puesto que en el mismo intervalo de tiempo cruza a través de un mayor número de frentes de onda.

El número total de frentes de onda que atraviesa un receptor que se acerca a la fuente, F, en un tiempo t, es igual a los que atravesaría en reposo más la cantidad adicional correspondiente a su movimiento. Ambos términos son iguales a la distancia recorrida por la onda y el receptor, respectivamente, divididos por la separación entre frentes de onda, λ:

N = (vt / λ) + (v_Rt / λ) =t (v + v_Rt ) / λ

Si el receptor se aleja de la fuente, el  número de frentes de onda recibidos será:

N = (vt / λ) - (v_Rt / λ) =t (v - v_Rt ) / λ

 

Por lo tanto, la frecuencia percibida por el receptor,es decie, el número de frentes de ondapor unidad de tiempo, es:

f_R = N / t = f [ v (+_{/ - )} v_R ] / v

(+): el receptor se acerca a la fuente
(-): el receptor se aleja de la fuente

La frecuencia percibida es mayor a medida que el receptor se acerca a la fuente, y disminuye a medida que se aleja de ella.


 

· Receptor y fuente sonora en movimiento

Éste es el caso en el que los efectos anteriores se combinan.

Primero, consideramos el efecto del movimiento de la fuente sobre la frecuencia percibida por el receptor:

f'_R = f v / [ v (+_{/ - )} v_f ]

A continuación, consideramos el efecto del movimiento del receptor sobre ésta frecuencia, f'_R:

f_R = f'_R [ v (+_{/ - )} v_R ] / v

La frecuencia percibida cuando se mueven a la vez fuante y receptor es:

 

f_R = f'_R [ v (+_{/ - )} v_R ] / v = (f v / [ v (+_{/ - )} v_f ] ) [ v (+_{/ - )} v_R ] / v =
= f (  [ v (+_{/ - )} v_R ] / [ v (+_{/ - )} v_f ] )

(+): recepror se aproxima / fuente se aleja
(-): receptor se aleja / fuente se aproxima

En conclusión, siempre que la distancia entre la fuente sonora y el receptor disminuye, la frecuancia de las ondas que recibe el receptor aumenta y el tono percibido es mas agudo. En caso contrario, la frecuancia percibida es menor y el tono más grave.