| Inicio. Fenómenos ondulatorios |
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Supongamos el caso de una onda que se propaga por un determinado medio, e incide perpendicularmente sobre una pared, reflejándose en ella. La onda resultante de la interferencia de la onda incidente y de la onda reflejada recibe el nombre de onda estacionaria, ya que no implica un movimiento de avance en la perturbación.
Por tanto, una onda estacionaria es aquella onda producida por interferencia de dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencia, que se propagan en la misma dirección y sentidocontrario.
Este tipo de ondas están asociadas a reflexiones en los límites de separación de medios de propiedades diferentes. Dichos límites pueden ser básicamente de dos tipos, libres y fijos. Un ejemplo es el nudo de unión de dos cuerdas de diferente grosor, que sería un límite libre; por el contrario, el extremo de la cuerda unido a un punto fijo en una pared sería un límite fijo.
En un límite libre la onda reflejada tiene las mismas características que la onda incidente, tan sólo difieren en el sentido de avance de la perturbación. Por el contrario, en un límite fijo la onda reflejada posee las mismas características que la incidente, pero está desfasada p radianes respecto a la onda incidente.
Para obtener la ecuación de la onda estacionaria, se aplica el principio de superposición :
Supongamos que dos ondas armónicas, de igual amplitud y frecuencia, que se propagan en sentido contrario a lo largo del eje de abcisas, tomando como origen la pared donde tiene lugar la reflexión, las elongaciones producidas en un punto x en el instante t valen:
y1 = A sen ( wt - kx)
y2 = A sen (wt + kx)
La elongación resultante será:
yr = y1 + y2 = A sen (wt - kx) + A sen (wt + kx) = 2 A cos (kx) sen (wt)
La amplitud resultante, Ar, viene dada por la expresión 2 A cos (kx). Por tanto, la ecuación de la onda estacionaria es la siguiente:
yr = Ar sen (wt)
En conclusión, la onda estacionaria es armónica de igual frecuencia que las componentes y su amplitud, Ar, no varía con el tiempo pero sí lo hace con la posición.
Por ello, exceptuando los puntos donde la amplitud se anula, los nodos, todos los puntos de la onda oscilan armónica y verticalmente respecto del eje OX y alcanzan a la vez la posición de equilibrio.
Como los nodos se encuentran siempre en reposo, la onda estacionaria parece permanecer fija sobre la dirección de propagación (de ahí su nombre), no viaja y, por tanto, no transporta energía.
Al no existir transporte de energía, no podemos considerar las ondas estacionarias como ondas en sentido estricto.
· Vientres y nodos de la onda estacionaria
Posición de los vientres
En todos los puntos de abscisa x donde se cumple que cos (kx) = | 1 |, Ar es máxima en valor absoluto, es decir;
kx = np ; x = np / k = 2n λ / 4
x = 2n λ / 4 ; n = 0,1,2,3...
En conclusión, son puntos de amplitud máxima en valor absoluto, es decir, vientres de la onda estacionaria, aquellos cuya abscisa x respecto de un foco vale 0 o un número par de cuartos de longitud de onda.
Posición de los nodos
En todos los puntos de abscisa x donde se cumple que el cos (kx) = 0, la Ar es nula, es decir:
kx = p / 2 + np ; x = 1 / k ( p / 2 + np ) = λ / 4 (2n + 1)
x = (2n + 1) λ / 4; n = 0,1,2,3,4...
En conclusión, son puntos de amplitud nula, es decir, nodos de la onda estacionaria, aquellos cuya abscisa x respecto de un foco vale un número impar de cuartos de longitud de onda.
· Distancia entre dos nodos o vientres consecutivos
La distancia entre dos vientres o nodos consecutivos en ambos casos es la misma, y se obtiene a partir del cálculo de la diferencia de posición de éstos.
xn - xn-1 = 2n λ / 4 - [ 2 (n-1) ] λ / 4 = λ / 2
La distancia es igual a media longitud de onda. Por ello, la distancia entre un vientre y un nodo es de un cuarto de longitud de onda.
Ondas estacionarias en una cuerda
Entre las ondas estacionarias destacan las producidas en una cuerda tensa y flexible, con uno o dos de sus extremos fijos.
Todos los puntos de la cuerda oscilan al mismo tiempo, excepto los nodos, con movimiento armónico de igual frecuencia pero de amplitud variable, la cual depende de su posición.
· Cuerda fija en sus dos extremos
Las vibraciones producidas en las cuerdas dan lugar a ondas estacionarias; a su vez, éstas producen ondas sonoras de la misma frecuencia. Es el caso de los instrumentos musicales de cuerda.
Supongamos que una cuerda tiene una longitud L y está fija en sus dos extremos:
Al apartarla de su posición de equilibrio y soltarla, la fuerza elástica de recuperación la hace vibrar.
Las ondas que se propagan en sentidos contrarios, debido a las reflexiones en los extremos de la cuerda, dan lugar a ondas estacionarias diferentes.
Cada una de las ondas estacionarias componentes del movimiento resultante que puede adoptar la cuerda en su vibración tiene una frecuencia característica y se denomina modo de vibración.
Como en los extremos de la cuerda, de abscisas 0 y L, no hay vibración, estos deben ser nodos.
Para determinar las longitudes de onda de casa uno de los modos normales de vibración, hay que tener en cuenta que en todoa onda estacionaria la distancia entre nodos consecutivos es λ / 2. Por ello, para la formación de la onda estacionaria, la cuerda tiene que tener una longitud que cumpla L = nλ / 2, de donde:
λ = 2L / n ; n = 1,2,3...
λ1 = 2L;
λ2 = L;
λ3 = 2L / 3
Ésta expresión demuestra que sólo son posibles las ondas estacionarias cuya λ es un submúltiplo de la longitud de la cuerda.
Cada modo normal lleva asociada una frecuencia que depende de la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda. Si f = v / λ:
f = nv / 2L ; n = 1,2,3...
f1 = v / 2L;
f2 = v / L
f3 = 3v / 2L
La menos frecuencia se denomina frecuencia fundamental o primer armónico; la siguiente, segundo armónico, y así sucesivamente, constituyendo una serie armónica.
· Cuerda fija en un extremo
Cada una de las ondas estacionarias componentes del movimiento resultante se denomina modo normal de vibración.
Las ondas se reflejan en el extremo fijo , donde siempre hay un nodo, pero no lo hacen al llegar al extremo libre, donde hay un vientre.
Para determinar los modos normales de vibración, debemos tener en cuenta que la distancia entre un nodo y un vientre consecutivos es λ / 4. Por tanto, se debe cumplir que L = nλ / 4. De este modo, las longitudes de onda de los modos normales de vibración posibles son:
f = 4λ / n ; n = 1,3,5...
El valor de cada frecuencia de la serie armónica depende de la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.
No existen armónicos pares en las ondas de cuerda de un sólo extremo fijo.
Cuando entra una corriente de aire por el extremo abierto de un tubo se crea una onda longitudinal de presión que se refleja al llegar al otro extremo, tanto si es abierto como si no. El resultado de la superposición de las ondas y sus reflexiones es la formación de una onda estacionaria longitudinal.
La onda, según sean los dos extremos del tubo abiertos o sólo lo sea uno de ellos, presenta diferentes características.
· Tubos abiertos en los dos extremos
En este caso aparecen dos vientres en los extremos, ya que en ellos las partículas de aire pueden oscilar.
La longitud del tubo es:
L = n λ / 2
Y, por tanto, la longitud de la onda es:
λ= 2L / n ; n = 1,2,3...
Las frecuencias de los armónicos vienen determinadas por:
f = v / λ = nv / 2L
f = nv / 2L ; n = 1,2,3...
· Tubos abiertos sólo en un extremo
En este caso aparece un nodo en el extremo cerrado, ya que las partículas de aire en él no pueden oscilar, y un vientre en el extremo abierto.
La relación entre la longitud del tubo, L, y la longitud de onda, λ:
L = nλ / 4
λ = 4L / n ; n = 1,3,5...
Las frecuencias de los armónicos es:
f = v / λ = nv / 4L
f = nv / 4L ; n = 1,3,5...
Las vibraciones en el tubo se componen de una frecuencia fundamental junto con otras frecuencias, las armónicas, de diversa amplitud; en realidad son ondas complejas producidas por superposición de los distintos armónicos. Este tipo de ondas se dan en los instrumentos musicales de viento.
Los instrumentos musicales de viento, por ejemplo, la flauta, producen sonidos por las vibraciones de la columna de aire del interior del tubo que provocamos al soplar en la boquilla. Si disminuye la longitud del tubo, aumenta la frecuencia de la vibración y el sonido es más agudo; en el caso contrario, el sonido se haría más grave.
Resonancia acústica
La resonancia consiste en que un cuerpo capaz de vibrar al ser sometidos a impulsos periódicos de frecuencia igual a alguna de sus frecuencias naturales entra en con una amplitud que alcanza su máximo valor.
Más concretamente, un sonido puede excitar las vibraciones de un cuerpo que sea capaz de emitir aquel mismo sonido.
Experiencia
Se colocan dos diapasones idénticos sobre sendas cajas huecas, para potenciar las ondas sonoras. Al golpear uno de ellos, vibra emitiendo un sonido y, se observa que, el otro diapasón empieza a vibrar con igual frecuencia al alcanzarle las ondas sonoras del primero.
Se comprueba también que si detenemos las vibraciones del primero,seguimos oyendo el sonido de la vibración del segundo.
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